محاسبات عددی

محاسبات عددی یا آنالیز عددی (Numerical analysis) به تنظیم، مطالعه و اعمال شیوه‌های تقریبی محاسباتی برای حلّ آن دسته از مسائل ریاضیات پیوسته (در مقابل ریاضیات گسسته) می‌پردازد که با روش‌های تحلیلی و دقیق قابل حلّ نیستند. برخی از مسائل موردنظر محاسبات عددی به طور مستقیم از حسابان می‌آید. جبر خطی عددی (بر روی میدان‌های حقیقی یا مختلط) و نیز حلّ معادلات دیفرانسیل خطّی و غیر خطّی مربوط به فیزیک و مهندسی از جمله زمینه‌های دیگر برای کاربرد محاسبات عددی ا‌ست. دوره آموزش محاسبات عددی با هدف آموزش این درس مهم تهیه شده که در ادامه به معرفی آن خواهیم پرداخت.

دوره آموزش محاسبات عددی 

دوره آموزش محاسبات عددی به منظور آموزش مفاهیم درس محاسبات عددی توسط استاد مجید بنی‌اسدی و به همت مکتب خونه در ١٠ فصل آموزشی ارائه شده است. این دوره رایگان و هم‌اکنون کاربران می‌توانند بدون پرداخت هیچ هزینه در آن ثبت‌نام کنند و از محتوای دوره بهره ببرند.

دوره آموزش محاسبات عددی برای چه کسانی مناسب است؟

دوره آموزش محاسبات عددی برای تمامی دانشجویان رشته‌های فنی و مهندسی که در چارت خود این درس را دارند مناسب است. همچنین این دوره برای متقاضیان شرکت در کنکور کارشناسی ارشد نیز توصیه می‌شود و از اهمیت بالایی برخوردار است.

هدف از دوره آموزش محاسبات عددی چیست؟

هدف آموزش محاسبات عددی آشنا کردن دانشجویان کارشناسی با روش‌های عددی حل مسائل علمی رشته‌های مختلف علوم و مهندسی است. آموزش محاسبات عددی می‌توانند مسائل علمی رشته‌های مختلف را که محاسبه‌ی دقیق آن‌ها با روش‌های معمول ریاضی مقدور نیست، به صورت تقریبی و با خطای محدود، تخمین بزنند. در برخی موارد، محاسبه‌ی دقیق پاسخ مسائل با روش‌های معمول ریاضی امکان‌پذیر بوده ولیکن از پیچیدگی بالایی برخوردار است. این پیچیدگی، خود باعث ایجاد برخی خطاها می‌شود. آموزش محاسبات عددی می‌توانند پاسخ این مسائل را با خطای محدود و با پیچیدگی کم‌تری تخمین بزنند. از این رو، قصد داریم در این مقاله دانشجویان با مفاهیم مربوط به خطا، و در ادامه با روش‌های آموزش محاسبات عددی مختلف برای حل مسائل فنی مهندسی آشنا کنیم.

• برای دانلود اسلایدهای درس اینجا کلیک کنید .
• پیشنیاز این درس ریاضی عمومی 1 است.

آموزش محاسبات عددی

آموزش محاسبات عددی به اعمال شیوه‌های تقریبی محاسباتی برای حل آن دسته از مسائل ریاضیات پیوسته می‌پردازد که با روش‌های تحلیلی و دقیق قابل‌حل نیستند. برخی از مسائل موردنظر محاسبات عددی به‌طور مستقیم از حسابان می‌آید. جبر خطی عددی و نیز حل معادلات دیفرانسیل خطی و غیرخطی مربوط به فیزیک و مهندسی ازجمله‌ی زمینه‌های دیگر برای کاربرد محاسبات عددی است.

آموزش محاسبات عددی به مطالعه‌ی روش‌ها و الگوریتم‌هایی گفته می‌شود که تقریب‌های عددی (در مقابل جواب‌های تحلیلی) را برای مسائل ریاضی بکار می‌برند. محاسبات عددی اساساً به مسائل مربوط به متغیرهای حقیقی و متغیرهای مختلط و نیز جبر خطی عددی به علاوه حل معادلات دیفرانسیل و دیگر مسائلی که از فیزیک و مهندسی مشتق می‌شود.
تعدادی از مسائل در ریاضیات پیوسته دقیقاً با یک الگوریتم حل می‌شوند که به روش‌های مستقیم حل مسئله معروف‌اند. برای مثال روش حذف گائوسی برای حل دستگاه معادلات خطی است و نیز روش سیمپلکس در برنامه‌ریزی خطی مورداستفاده قرار می‌گیرد. ولی روش مستقیم برای حل خیلی از مسائل وجود ندارد و ممکن است از روش‌های دیگر مانند روش تکرارشونده استفاده شود، چون این روش می‌تواند در یافتن جواب مسئله مؤثرتر باشد.

نمونه عناوینی که شما در آموزش محاسبات عددی آن‌ها را موردبررسی و یادگیری قرار می‌دهید عبارت‌اند از:

• خطاها، دستگاه ممیز شناور، پایداری
• درونیابی، اسپلاین‎ها
• حل عددی معادلات غیرخطی
• مشتق‌گیری عددی
• انتگرال‌گیری عددی
• حل معادلات دیفرانسیل معمولی
• روش‌های تکراری حل دستگاه‌های معادلات خطی

در آموزش محاسبات عددی در ریاضیات، روش‌های انتگرال‌گیری روشی برای اختصاص اعداد به توابع است؛ به‌گونه‌ای که جابجایی، مساحت، حجم و دیگر مفاهیم برآمده از ترکیب داده‌های بی‌نهایت کوچک را به‌وسیله آن بتوان توصیف کرد. انتگرال‌گیری یکی از دو عمل مهم در حساب دیفرانسیل و انتگرال است که عمل دیگر آن (عمل معکوس) دیفرانسیل‌گیری یا همان مشتق‌گیری است.

آموزش محاسبات عددی در مکانیک سیالات

آموزش محاسبات عددی در شاخه‌های مکانیک سیالات است که با استفاده از آنالیز عددی و الگوریتم‌های عددی، مسائل مشتمل بر شاره‌های سیالاتی را تجزیه‌وتحلیل می‌کند. از کامپیوترها برای شبیه‌سازی برهم‌کنش مایعات و گازها با سطوح شرایط مرزی استفاده می‌شود. این شاخه از مکانیک سیالات، مکانیک قدیم را به علوم رایانه و توانمندی‌های نوین محاسباتی آن در نیمهٔ دوّم قرن بیستم و در سدهٔ جدید میلادی وصل می‌کند. در این روش با تبدیل معادلات دیفرانسیل پاره‌ای حاکم بر سیالات به معادلات جبری امکان حل عددی این معادلات فراهم می‌شود.

یکی از دروس مقطع کارشناسی اکثر رشته‌های مهندسی همچنین در دانشگاه‌های آزاد، درس محاسبات عددی است که اغلب در ترم‌های دوم یا سوم ارائه می‌شود و در آن معادلات دیفرانسیلی که به روش تحلیلی نمی‌توانیم آن‌ها را حل کنیم، به صورت عددی و با دقت بالا حل می‌گردد.

در آموزش محاسبات عددی و رشته‌های مختلف در این زمینه به انواع منابع خطا در محاسبات ریاضی پرداخته می‌شود و سپس روش‌های حل معادلات و دستگاه معادلات خطی و غیرخطی را ارائه می‌دهد و در مرحله بعدی، مباحث درون‌یابی، برون‌یابی و برازش را مورد بررسی قرار می‌دهد.

آموزش محاسبات عددی در علوم مهندسی و صنعت

ساختار محاسبات عددی باتوجه ‌به خواسته مهندسان و پژوهشگران هدایت می‌شود و علم و فناوری را با کاربردهای موفق روش‌های عددی پیشرفته به‌پیش می‌برد. با توسعه نظریه ریاضی و سخت‌افزار رایانه، روش‌های مختلف عددی پیشنهاد شده است. روش‌های عددی نوین در محاسبات و کاربردهای تازه آن منجر به نوآوری در زمینه‌های مرتبط می‌شود؛ بنابراین روش‌های عددی اهمیت بیش‌تری پیدا کرده و پرداختن به این دانش در مهندسی و صنعت ارزشمند است.

آموزش محاسبات عددی در مهندسی عمران

در سازه‌های عمرانی ساخته شده توسط مهندسان مقدار زیادی از مواد مصرفی مختلف مانند بتن، فلز، چوب، شیشه و سایر متریال مصرفی در کنار هم استفاده می‌شود. توسعه مدل‌های شبیه‌سازی با روش‌های عددی به مهندسی عمران توانست ابتدا ساختار مولکولی مواد مصرفی خود را بررسی و کیفیت‌بخشی کند. همچنین پیش از اجرای کامل سازه، با کمک نرم‌افزارهای مهندسی و روابط آنالیز عددی استحکام سازه را باتوجه‌ به پارامترهای محیطی و کیفیت مواد بکار رفته در ساخت سازه بررسی کرده و کنترل کیفیت کند.

در آموزش محاسبات عددی مشتق‌گیری را نیز می‌آموزید. مشتق‌گیری همیشه یکی از مهم‌ترین کارها در ریاضیات و پروژه‌های مهندسی است. نرم‌افزار متلب هم به عنوان قدرتمندترین نرم‌افزار در حوزه ریاضیات، امکانات خوبی برای مشتق‌گیری در اختیار ما قرار می‌دهد. 

یکی از انواع مشتق‌گیری، مشتق‌گیری تحلیلی است؛ یعنی یک تابع برحسب یک متغیر داریم. از آن با استفاده از قواعد مشتق‌گیری، مشتق می‌گیریم و حاصل را به دست می‌آوریم. 

در ادامه، مشتق‌گیری و انتگرال‌گیری عددی، حل عددی معادلات دیفرانسیل، حل عددی دستگاه معادلات دیفرانسیل، تعیین عددی مقادیر ویژه‌ماتریس‌ها، روش حداقل مربعات و درنهایت بهینه‌سازی عددی ارائه می‌شود. شیوه تدریس بر مبنای حل مسائله است و در ابتدا مطالب مرور شده و سپس با حل تمرین‌های مختلف، جنبه‌های متفاوت محاسبات عددی مورد بررسی قرار می‌گیرند. در بعضی روش‌های محاسبه ممکن است خطاهایی به وجود بیایند، در آموزش محاسبات عددی می‌آموزید منابع تولید خطاها و انواع خطاها را شناسایی کرده و تا حدی از انتشار آن‌ها جلوگیری می‌شود. بیشتر مواقع در عمل با یک مسئله حقیقی مواجه هستیم و بنابر دلایلی، جواب تقریبی آن را جستجو می‌کنیم.

سخن پایانی

در آموزش محاسبات عددی بعضی از خطاهایی که در انجام محاسبات ممکن است رخ دهد بیان می‌شود تا بتوانیم با شناخت منابع خطا در رفع آن کوشا باشیم و نتایج مناسبی در حل مسائل محاسبات به دست آوریم.
همچنین انجام محاسبات با استفاده از وسایل محاسباتی منجر به کوتاه کردن اعداد اعشاری با بسط نامتناسب است که این عمل در حین انجام محاسبات منجر به گسترش خطا می‌شود. امیدوارم با آگاهی از این خطاها و بیان توضیحاتی در این مطلب در جهت آموزش بیشتر به شما کمک کرده باشیم.